Agrandir le territoire exploré : une seule loi pour les décrire tous !

Comment caractériser la manière dont une marche aléatoire explore son environnement au cours du temps ? Des déplacements des cellules aux variations d’un indice boursier, on décrit classiquement ces explorations par la taille du territoire visité, que ce dernier soit un vrai domaine spatial ou une série de valeurs. Cette approche ne dit cependant rien sur la façon dont la trajectoire change de cap : continue-t-elle à repousser la même frontière ou alterne-t-elle des allers-retours ? Pour des marches avec mémoire, qui constituent la grande majorité des phénomènes naturels, cette question est d’autant plus difficile que la trajectoire dépend fortement du territoire déjà visité.

Pour étudier cette question, des chercheurs ont introduit une observable géométrique, les flips. Pour comprendre cette notion, il faut imaginer le marcheur aléatoire comme un animal qui visite une région particulièrement agréable pour lui, car il y trouve de la nourriture à chaque pas, qu’il prend évidemment le temps de manger (voir figure (a)). Avec cette image, le territoire déjà visité par l’animal se caractérise par le fait qu’il est totalement vidé de la nourriture qu’il contenait. Un flip est un événement (étendu dans le temps) correspondant à l’ingestion successive de nourriture par l’animal à deux bords opposés du territoire déjà visité (par opposition à deux ingestions consécutives, voir figure (b) l’avant-dernier maximum). 

Ces recherches ont été menées dans les laboratoire CNRS suivants :

• Laboratoire de physique théorique de la matière condensée (LPTMC, CNRS / Sorbonne Université)

• Laboratoire Jean Perrin (LJP, CNRS / Sorbonne Université)

Les chercheurs montrent que la probabilité d’observer un flip lorsque le territoire visité a une taille n suit une loi remarquablement simple : en une dimension, elle décroît comme 1/n, de façon très universelle, car indépendamment des détails précis de la dynamique exploratoire propre au marcheur (et en particulier du type spécifique et de l’étendue de la mémoire que son déplacement mobilise). Ces détails n’interviennent que dans une constante qui vient multiplier le facteur 1/n, et qu’on peut donc qualifier d’« empreinte digitale » de la mémoire du processus. Les chercheurs complètent la démonstration mathématique de ce résultat en montrant concrètement la vérification de cette loi universelle sur un large éventail de modèles théoriques ainsi que dans des données réelles : migrations de cellules, séquences d’ADN, indices financiers... En révélant une structure simple et générale derrière des comportements d’exploration complexes, les flips offrent ainsi un puissant outil pour quantifier l’exploration de processus naturels ou socio-économiques. Ce travail est publié dans Nature Communications.